杀鸡不要用牛刀，能用中学数学解释的问题，就不需要用微积分或抽象代数来解释。

首先，「不能除 0」与其说是强制规定，倒不如说是人们的自然选择。

其次，你可以除 0，只不过要付出一个小代价，这个代价就是数学大厦的轰然倒塌。

很多教科书上说「除以 0 没有意义」，这种简单粗暴的回答既不准确，又无法帮我们真正理解数学。

让我们换一种提问方式：

如果允许「除以 0」，你将会进入一个怎样的数学世界?

​《除零之门》MidJourney 生成

让我们从这个不起眼的问题出发，层层递进的提问，一起探索一个有趣的数学世界。

在这个世界里，你不仅能更好的理解这一规则背后的思想，还能帮助你避免在证明时犯低级的错误。

先说结论：

加入「不能除 0」这条限制，并不是因为除以 0 没有意义，而是因为这会让计算的结果出现不确定性，让计算的过程出现悖论，专业一点说，这破坏了数学的一致性。

为什么计算结果会出现不确定性？

先解释什么是计算的确定性

比如，1+1=2，1/2=0.5

这些计算的结果是确定，你不会随便给出其他结果，这就是计算的确定性。

有人说，一元二次方程有两个解，三角函数有无穷多个解，这是确定的吗？

这也是确定的，因为根据这些函数的方程

输入一个 x 的值，比如 0，我们就明确知道 y 的计算输出结果，而不是随便一个数值，所以这也是确定的。

但是，1/0=?，这个计算的结果是多少？你能确定有多少解吗？

有人说，很简单啊，结果是无穷大 ∞ ，因为如果写成函数的形式

当分母 x 越趋近于 0，y 就会越趋近于无穷大 ∞ 。

例如下图，当 x 从大到小无限靠近 0 时，y 就会快速增大为无穷∞

​如果 y 的结果是无穷大，那计算的结果还是确定的，因为无穷大也是确定的解，很多函数在特定的点上也会出现无穷大。这不是随便给出结果，所以并不是问题所在。

真正的问题在于，这个计算结果是不完整的。

这个计算只考虑从正数一侧靠近 0，没有考虑到还有负数一侧。

如果 x 从负数一侧靠近 0，y 的计算结果就会靠近负无穷-∞。

例如下图给出了双侧的结果。

不同的趋近方向计算结果是完全不同。你就说，挣 1 个亿和赔 1 个亿，能一样吗?

那在 0 这个点上，y 的取值究竟是正无穷+∞，还是负无穷-∞？

你能确定吗？是不是不能？

也就说，对于函数

当它站在 x=0 这个点上成为 时，突然进入了一种不确定的状态，y 既不是正无穷，也不是负无穷，或者可以都是。

这就是不确定的。

有人说，两个结果好像也没问题啊？不就是正负两个无穷大吗？

问题在于，除了正负无穷大， 还可以是从负无穷到正无穷中间的任何一个值。

也就是随便给个数，都可以算是 的正确结果，不再有对错之分，这是一种更诡异的不确定性。

怎么会这样？很奇怪是吧！具体原因后面再解释。

有人可能会问：

这有什么问题吗，结果不确定又怎么了，我就想让除法保留「除以 0」不可以吗？

可以，当然可以了！

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