--- id: "658048814" type: answer title: "为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？" url: http://www.zhihu.com/api/v4/answers/658048814 created: 2019-04-20T20:27:12.000Z updated: 2019-05-16T14:48:48.000Z voteup_count: 0 comment_count: 358 --- # 为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？ 非常好的问题，探索这个问题的答案，不仅能更好的了解自己和这个世界，还能避免被征收**“偏差税”Bias Tax**！ 先说结论，样本标准差的分母写成n-1，是为了对自由度进行校正，这叫**贝塞尔校正**（Bessel's Correction）\[1\]。注意这个贝塞尔不是贝塞尔曲线（Bézier curve）那个贝塞尔。 为了让中学水平的读者就能理解，我尽量不用公式，用浅显的语言和生活中的案例，来叙述这个问题的来龙去脉。这算是对其他答案的补充，也许看完后，再看其他高手的回答就没那么难了。 在统计领域，你经常会看到，为了减少干扰数据对结论的影响，数学家设计了大量的技术手段来对数据进行校正。 先看一篇我改编的故事《比尔盖茨冲进酒吧》： 一天晚上，小镇酒吧里坐着9个人，大家都是小镇上的工薪族，年薪的平均值在5万美元左右。 ![](../images/remote-a926f8aa829589eb77509e58241ce9de06bafe3a7386bf677611a3431926dc92.jpg) ![](../images/remote-a926f8aa829589eb77509e58241ce9de06bafe3a7386bf677611a3431926dc92.jpg) 从上面的数据和图表，你可以看出50000美元这个平均值，比较准确的体现了9个人的收入水平。 正在此时，比尔盖茨急匆匆的走进酒吧，冲向厕所…… 假如比尔盖茨的年薪是10亿美元，在他上厕所的时间里，另外9个人啥也没做，加上比尔盖茨，10个人的平均年薪平均值一下子从5万爆涨到1亿美元。 ![](../images/remote-dbe6aacd682f70331fd9cc47f912dcb672cec41c3be97363bf5b32d3c544bbd1.jpg) ![](../images/remote-dbe6aacd682f70331fd9cc47f912dcb672cec41c3be97363bf5b32d3c544bbd1.jpg) 如图，相比之下，和比尔盖茨相比，9人的年薪太渣，完全看不出高度，像二向箔一样薄。 而当比尔盖茨离开后，他们还是啥也没做，平均年薪却暴跌了近1亿美元。 9人抱头哭死在厕所…… 剧终^\_^ 在这个例子里，比尔盖茨就是一个干扰数据，因为他的存在，让平均值的计算并不能体现酒吧里工薪族的**真实**平均水平，9人的平均年薪无缘无故的涨到了1亿。当然这个数也无法体现比尔盖茨的真实收入水平，因为他缩水到了1亿。 那统计学家应该怎么办呢？ 在统计上，把比尔盖茨这种干扰数据称为异常值（Outlier）。 应对这种异常值，最简单的方法就是排除掉它们。在计算平均值时把比尔盖茨排除掉，就无法干扰平均值了。（当然实际应用比较复杂，排除异常值需要谨慎，不能随意的排除） 排除法这种技术手段也经常应用在比赛打分上。 我们知道裁判打分的主观性非常大，为了减少单个教练的影响，比赛通常会安排多个裁判一起给选手打分，然后再取一个平均值。 但实际上在求平均值时，还会再去掉最高分和最低分，然后对剩下的分数计算平均值。 这种排除最高/低分的手段也是为了消除干扰，因为最高分和最低分对平均值的影响比较大，会大幅偏离真实的水平。 例如，下面是10个裁判的打分 ![](../images/remote-78782382f0eb95f22c7f43aa1b71bdb9ad52a01374445e98fbd22bea06f7015b.jpg) ![](../images/remote-78782382f0eb95f22c7f43aa1b71bdb9ad52a01374445e98fbd22bea06f7015b.jpg) 上图中最高分把选手的平均值拉高了0.60分，你可能会说，这点分数不算啥，应该影响不大。 但在实际的比赛中，选手的差距通常非常的小，0.1分都会对选手的排名产生显著的影响。 为了尽可能消除其干扰，得到一个相对客观的平均值，通常在计算平均值时，会排除掉最低分和最高分，这样算出来的平均值叫裁剪平均值（Truncated mean）。 比尔盖茨和去掉最高/低分的这两个例子，都是为了说明统计领域的校正技术，用排除法来消除掉干扰数据的影响。 现在你也可能意识到了，在样本方差的计算上，分母使用（n-1），而不是n，也是一种排除法来消除干扰的技术手段。 **为什么要减去1，这个1代表的是哪个数？** 这个减去的1，不特指任何一个数，1代表那个失去“独立客观”的维度（自由度）。 看不明白？ 正常，听我慢慢解释。 在我们在对全体进行采样时，有一个至关重要的前提条件，就是一定要**随机**采样，这其中的关键词是随机。 之所以要随机，这是为了避免出现样本偏差。因为如果样本错了，后面的计算步骤即使全部都正确，最终结果也是错的。 例如，要想回答“中国人是不是喜欢吃狗肉？”的问题。 ![](../images/remote-396db5c090bcf787ad5ad474eb3a82489fd38aa4e4ddf14109f91670c7a45785.jpg) ![](../images/remote-396db5c090bcf787ad5ad474eb3a82489fd38aa4e4ddf14109f91670c7a45785.jpg) **请问，以下两个采样，哪一个能得到客观的结论？** - 只去玉林狗肉节上采样。 - 对中国人进行时间和地点都随机的采样。 两种采样方法，会得出截然相反的结论。 - 前一种采样很**不自由**，被限制在一个极其有限的时空里。 - 后一种采样有充分的**自由**，跳出限制，可以没有干扰的随机采样。 如果只在玉林采样，这个样本就是偏差样本（Biased Sample），是不具代表性的样本（Unrepresentative Sample）。 如果根据这个偏差样本，得出了“中国人居然吃狗肉，太野蛮了！”的结论。无论在逻辑上如何完美，最终结论也是荒谬的。 这就是所谓的**“垃圾进，垃圾出”（Garbage in ， garbage out）**\[2\] 你在玉林采样越多，你的偏见就会越深，只会进一步的**固化你的偏见**。 但自由的随机采样，你采样越多，你的偏见就会越来越少，看到更真实、**更多样化**的中国人。 在这里需要暂停一下： 请大家反思一下，自己是不是也曾犯过同样的错误，取错了样本，出现了偏差或偏见（Bias）？ 反正，我经常会犯这样的错误，轻易就相信传言\[3\]，或轻易给别人扣上帽子\[4\]，这都是偏见。 （罪过，罪过，宽恕我吧，我知道自己错了！） **我们普通人经常会因为样本偏差，被收取“偏差税”(Bias Tax)** 例如彩票，就是利用了人们的这一弱点。 彩民们只注意到了那些极少数获得大奖的人，看不到绝大数人赔钱。 越是盯着那些获奖的人看，彩民们的偏见越深，越是坚信自己会中奖。 他们因为在选取样本时出现偏差，而被别人收税。 好吧，我承认，偏差税这个词是我根据智商税这个词编造出来的(^\_-)。 很多人喜欢用智商税这个词来嘲笑犯错的人智商低，但智商税这个词是有偏差的。 因为不能根据一个事件就推算出一个人整体的智商，这是不具代表性的有偏样本，这是偏见。 例如很多彩民的智商很高，他们使用各种复杂的公式，做了大量复杂的计算，他们的智商一点都不低，他们的问题是出在样本偏差上。 而偏差税这个词和智商税不一样，不论我们的智商高低，人人都会有偏见，事事都会出偏差，这个税每个人都在交。 例如，股票市场上的散户，迷信中医和保健品的大爷大妈，轻信谣言的吃瓜群众，……，几乎无人可以幸免，都在为样本偏差付出代价。 推荐一个TED演讲《[为什么应该热衷于统计学](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.ted.com/talks/alan_smith_why_we_re_so_bad_at_statistics/transcript%3Flanguage%3Dzh-cn%23t-757755)》。 看完就知道人们对这个世界的偏差有多大了。 所以人们不是智商出了问题，是在选取样本时出现了偏差，所以偏差税是一个更客观（无偏）的词。 其实，不仅是普罗大众，就是那些权倾一时的政治家，也曾为样本偏差付出过惨重的代价。 1948年美国大选，大部分报纸都预测杜威会战胜杜鲁门，当选美国总统。社会舆论一致看好杜威，以至于竞选当天，杜威认为杜鲁门很快就会打电话庆祝他当选。 但竞选结果却大跌眼镜，最终是杜鲁门当选。（是不是有些似曾相识？） ![](../images/remote-4c94da4c1be216861eec18a5d24c65390666867cf7b2278387dc98b586da414d.jpg) ![](../images/remote-4c94da4c1be216861eec18a5d24c65390666867cf7b2278387dc98b586da414d.jpg) 杜鲁门获胜后，兴高采烈的举着那些提前预测杜威击败杜鲁门的报纸，笑得好真诚啊！ 图片来源：[https://www.youtube.com/watch?v=h4uUV1klrkM](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.youtube.com/watch%3Fv%3Dh4uUV1klrkM) 这次的预测之所以会失败，是因为调查机构通过电话调查的方式做的采样。 1948年，虽然电话已发明多年，但价格并不便宜，有电话的多是相对富裕的家庭，多数人的家里没有普及电话。也就是说，这种采样是有偏差的，只反映了富裕阶层的观点，无法反映当时主流选民的意愿，也就是统计出现了样本偏差。\[5\] 在当时，除了很多美国人被误导，还有一个人也因为这个样本偏差，把所有筹码错压在了杜威的身上，结果却因此而丢掉了整个江山，此人就是蒋介石。本来杜鲁门在做副总统时就对蒋介石印象很差，在他当选后，更是变本加厉，很快减少了对蒋介石的援助。\[6\] 常凯申也哭死在厕所！ 事实上，有太多的**仇恨、歧视、偏见和武断**的观点，是建立在样本偏差的垃圾数据之上的**。** 因为“垃圾进，垃圾出”，无论人们如何雄辩，逻辑上如何完美，算法上如何先进，结论也是一堆错误的垃圾。\[7\] 这是值得你、我、以及所有人都应该警惕的现象。 例如：你想知道当代日本人是怎样的。就不能只对抗日神剧进行采样，不能只对日本右翼进行采样，要获得真实的数据，必须去日本实地对日本人进行**随机**采样。 只有采样是随机，是不带偏差的（Unbiased），才能保证自己吃进去的不是垃圾信息，这是得出正确结论的第一步。 **只要人人都追求无偏差，世界会变成美好的人间** 除了要做到采样是随机的，还要确保**样本之间是互相独立的**，在统计上用**自由度（Degrees of freedom）**来描述这种独立性。 我们以常见的招投标为案例，解释一下独立性。 有个学校要盖教学楼，邀请几个建筑公司来投标。学校希望建筑公司的报价尽可能低，而且还要确保质量。所以学校不能只选价格最低的方案，而是要挑选出综合评分最优的方案。 要做到公正客观的评分，必须确保几件事： 首先，学校不能让内部员工来评分，因为内部员工和项目有直接的利益关系，员工都希望自己在项目中获得更多利益，做不到评分上客观独立。 所以学校只能从外部请专家来评标，因为外人**独立**于学校之外，会减少直接利益所产生的影响。 于是学校计划邀请3个专家来评审，让专家对建筑公司的方案和报价进行综合评分。 其次，学校在挑选专家时，要尽可能确保这些专家之间的观点也必须是互相**独立**的，不能人云亦云。 假如其中1人是另外2人的上级，那上级说话，下级的观点就倾向于和上级保持一致，在评分时无法做到独立，这样的评分是有偏差的。花了3个专家的钱，却成了1个专家的一言堂。专家独立性从3变成了1，这偏差也太大了。 最后，学校还必须确保，任何一个专家都没有被建筑公司收买，是**独立**于建筑公司，没有利益输送的。 如果被收买了，专家就会修改评分，让贿赂的商家胜出，这个专家的数据也是不独立客观的。 从上面的这个案例里，你会发现**独立的重要性**，一旦出现利益关联，独立性就会降低，数据必然会出现偏差。 类似的制度设计非常的广泛，例如陪审团制度，就设计了大量的机制来保证陪审团成员的独立性。 ![](../images/remote-be9c2654718035ae715f843c019845a6d938b3988a90be83ff93f5b17962bc47.jpg) ![](../images/remote-be9c2654718035ae715f843c019845a6d938b3988a90be83ff93f5b17962bc47.jpg) 电影《十二怒汉》剧照 推荐重温一下《十二怒汉》这部经典，看看人们的偏见（Bias）是如何的根深蒂固，消除偏见是如何的困难。 **几千年来，人类为了提高独立性，殚精竭虑的设计了各种精巧的制度，这些制度历久弥坚，逐渐成为了现代社会的基石。** 在统计实践中人们发现，偏差的产生，很多时候也是因为样本数据之间出现了**各种隐含的关联关系**，降低了数据之间的独立性。 而解决的策略还很清晰，就是发现其中隐含的关联关系，然后进行校正。 让我们再回到样本方差（Sample Variance）的分母（n-1）上来。 你既然在看这个问题，那就已经知道了方差![\\sigma^{2}](../images/ebd1092b0b9d52661421d8ef6bd6a4f50dc2cead7a0f1fb143a56db94dcd7117.svg)的计算公式 ![\\sigma^{2}= \\frac{ (x\_{1}-\\mu) ^{2}+(x\_{2}-\\mu) ^{2}+...+(x\_{n}-\\mu) ^{2} } {n}](../images/ebd1092b0b9d52661421d8ef6bd6a4f50dc2cead7a0f1fb143a56db94dcd7117.svg) 需要注意的是这里的方差![\\sigma^{2}](../images/ebd1092b0b9d52661421d8ef6bd6a4f50dc2cead7a0f1fb143a56db94dcd7117.svg)其实是**全体**的方差，μ是**全体**的平均值，n是**全体**变量的数量 例如一家啤酒厂每天生产1万瓶啤酒，我们想知道这些啤酒的质量差异性如何，可以打开这1万瓶啤酒测量，再把所有测量结果代入到上面的公式里求方差，在计算中，没有漏下任何一瓶啤酒的数据。 你也发现了，这样做不仅麻烦了，而且成本极高。 更好方法是对出厂的啤酒进行随机的采样，计算这部分样本的方差![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg)。 例如，随机的从产品中找出100瓶，用这100瓶来估算1万瓶啤酒的质量差异，注意，除了这100瓶的数据，其他9900瓶啤酒数据是完全未知的。 样本方差![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg)它是从全体数据中随机取出一小部分所做的计算，用这个局部的100瓶啤酒的方差去估计全体1万瓶啤酒的方差。 ![s^{2}= \\frac{ (x\_{1}-\\bar{x}) ^{2}+(x\_{2}-\\bar{x}) ^{2}+...+(x\_{n}-\\bar{x}) ^{2} } {n-1}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg) 上面这个样本方差![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg)公式，尽管在形式上和全体方差![\\sigma^{2}](../images/ebd1092b0b9d52661421d8ef6bd6a4f50dc2cead7a0f1fb143a56db94dcd7117.svg)的公式近似，但是内涵上发生了天翻地覆的变化。 我们来比较一下，全体方差![\\sigma^{2}](../images/ebd1092b0b9d52661421d8ef6bd6a4f50dc2cead7a0f1fb143a56db94dcd7117.svg)和样本方差![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg)： 全体方差 ![\\sigma^{2}](../images/ebd1092b0b9d52661421d8ef6bd6a4f50dc2cead7a0f1fb143a56db94dcd7117.svg) 是一个客观**事实（Fact），**是对所有个体数据的全体所作的客观描述（Describe）。 而样本方差 ![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg) 更像一个**观点（Opinion）**，是我们根据少量抽样个体的数据，对全体所作出的估算（Estimation），或者说是预测。 既然样本方差 ![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg) 不是一个事实，而是一个观点，是一种估算，为了让这个估算尽可能的接近事实，就必须注意样本不要出现偏差（Bias），否则就会“垃圾进，垃圾出”，得出错误的估算。 例如 - 我们不能只对某批产品取样，某个特定时间取样，我们的随机取样必须尽可能的覆盖所有批次，取样要有充分的自由度，足够的随机。 - 另外还要注意，避免样本里的变量之间存在隐含的关联关系。 我们来看一个例子 假设随机抽出的样本里只有两个数 ![\\left\\{ x1,x2 \\right\\}](../images/dab7b95bfee6ea1d783066e74645db5001c71972e351815c37e6c906dd621d9e.svg) 如果这2个数是独立和随机抽取的，**你就不能从x1猜出x2，**例如我告诉你x1=10，请问x2等于多少？ 你根本猜不出来，因为随机抽取让x2和x1之间没有关联。 但是，没想到的是，因为一个数据的存在，让这个随机取样产生了一个隐含的关联关系。 这个数就是计算样本方差 ![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg)时，需要用到的**样本平均值 ![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)** ，他的引入让随机抽取的独立性和自由度减少了一点点。 因为样本平均值 ![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)引入了一些信息，让x1和x2之间不再是相互独立的关系了。 根据平均值公式 ![\\bar{x}=\\frac{x\_{1}+x\_{2}}{2}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg) 只要知道了x1和![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)，就可以计算出x2的值。 如果x1=10，![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)\=10，那x2=10 同样，知道了x2和![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)，就可以计算出x1的值。 如果x2=10，![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)\=11，那x1=12 也就是说，出问题的并不是x1或者x2，这两个数本来好好的，互相独立的。出问题的是平均值![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)，他引入的新信息，让样本数据之间的独立性减少了，关联性增加了。 或者还可以说，在平均值的介入下，x1和x2的自由度降低了，原来是两个独立的数，现在只有一个独立了，另一个则不再自由，好像有些人云亦云了。 同样的，对于更多的样本量： 如果样本是3个数 ![\\left\\{ x\_{1},x\_{2},x\_{3}\\right\\}](../images/75f9a4a878fb7aae9a6318ff6341c9172450aaff41d7f5ce107ff2aee02982ef.svg) 则知道了x1，x2，就能通过![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)，计算出x3，独立性或者说自由度，就从3降到了2。 如果样本是4个数 ![\\left\\{ x\_{1},x\_{2},x\_{3},x\_{4}\\right\\}](../images/c954395dc32c0c099fcab3dbc2996e1a953a43f12265602f14e57825916c9bf4.svg) 则知道了x1，x2，x3，就能通过![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)，计算出x4，独立性或者说自由度，就从4降到了3。 …… 如果样本是n个数 ![\\left\\{ x\_{1},x\_{2},...,x\_{n}\\right\\}](../images/43f5a18f53065a1b20a60716c94a21eb512bad937386d47a2ab35bc27350a8e6.svg) 则知道了x1，x2,..., ![x\_{n-1}](../images/55eed0a46e475f093485e11c8586ce8449f8aa21afd46710645eb1ed62b0eb86.svg) ，就能通过![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)，计算出 ![x\_{n}](../images/4a96e1c4c1ed52db2fe98552d6fd4024aff8b2b3242363f230520023a995ac23.svg) ，独立性或者说自由度，**就从n降到了n-1。** 平均值![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)让样本的独立性或自由度减少了1，导致了样本出现了偏差。 这就是为什么样本方差的分母不是n，也不是n-2或n-3，而是n-1的原因。 **自由度变小会对样本方差产生什么影响呢？** 这意味着，样本方差会变小。 我们知道，方差是通过计算样本和平均值之间的距离，来描述样本的**分散程度**，数据之间差异越大，方差越大，数据之间越是趋同，方差越小。 还是用专家评分的案例来解释： 如果专家组中，所有人都独立，每个人的评分会出现较大的差异性。 但如果专家组中有个领导，他自己没有任何主见，只是在看完大家的评分之后，取个折中的评分，是个老好人型的领导。 请注意，这个领导没有贡献任何新观点，他的观点**不独立**，只是重复了别人的观点，但这个重复数据污染了整体数据的独立性，让原本差异性较大数据，因为折中数据的出现，减少了差异，或者说，出现了一些趋同效应，这就产生了偏差。 回到样本方差 ![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg) 上，因为样本平均值 ![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg) 就是根据样本来计算的，样本平均值 ![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg) 成了那个贡献重复数据的领导，让原来独立的、随机的、没有偏差的样本数据，**在计算加工过程中引入了偏差**，减少了数据之间的差异性，这种趋同效应让样本方差 ![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg) 变小。 也就是说，数据取样没问题，是无偏的。但是在后来的方差计算中，均值的引入，让差异性减少，**本来无偏的数据出现了偏差**。**样本方差会一直小于总体方差，这是一个有偏样本方差。** ![s\_{biased}^{2}= \\frac{ (x\_{1}-\\bar{x}) ^{2}+(x\_{2}-\\bar{x}) ^{2}+...+(x\_{n}-\\bar{x}) ^{2} } {n}](../images/d2828ff03405c874760effa87bb76dbefe24fe222615b903a610c777e32b99a3.svg) 上面是有偏差的样本方差公式，是没有经过校正的。 普鲁士天文学家贝塞尔（Bessel）在对海量的观测数据做计算时，也注意到了这个偏差。 这个偏差的特点是： - 在样本量小的时候偏差影响比较明显，样本方差比全体方差偏小。 - 但是当样本量增大时，偏差逐渐减少，直到影响可以忽略不计。 既然样本方差变小了，那干脆让分母变小，增大样本方差就行了。 贝塞尔给出了修正方法，即把样本方差公式的分母修正为n-1，所以这个修正被后人称为贝塞尔校正。 ![s^{2}= \\frac{ (x\_{1}-\\bar{x}) ^{2}+(x\_{2}-\\bar{x}) ^{2}+...+(x\_{n}-\\bar{x}) ^{2} } {n-1}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg) 具体的公式推导过程，可以看Emory University的这篇关于Bessel's Correction推导的文章 \[8\] ![](../images/remote-2181c5ba133944429e298e379058a477e36b2ed79e38476217974b0ee738a09a.jpg) ![](../images/remote-2181c5ba133944429e298e379058a477e36b2ed79e38476217974b0ee738a09a.jpg) 德国天文学家和数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔 图片出处：[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%97%E9%87%8C%E5%BE%B7%E9%87%8C%E5%B8%8C%C2%B7%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25BC%2597%25E9%2587%258C%25E5%25BE%25B7%25E9%2587%258C%25E5%25B8%258C%25C2%25B7%25E5%25A8%2581%25E5%25BB%2589%25C2%25B7%25E8%25B4%259D%25E5%25A1%259E%25E5%25B0%2594) 样本方差![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg)公式里的分母n-1，就是这么来的，那个减去的1，就是用来校正![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)所带来的偏差，他不代表某一个样本，而是对自由度的补偿，让缩小的样本方差重新变大一点。 **样本方差偏小是不是采样出现问题？因为越接近平均值，就越容易被采样？** 从直觉上好像是这样的，比如下面的这个鱼类长度的分布，数据聚集在平均值106（蓝线）附近，如果采样，在平均值周围的确有更大的概率被采样到。 ![](../images/remote-22bc72a896e6ff6160e20105cfea30dd8b8714dd8b90599f959dc8fa6ad5f7f2.jpg) ![](../images/remote-22bc72a896e6ff6160e20105cfea30dd8b8714dd8b90599f959dc8fa6ad5f7f2.jpg) 但是，**直觉是靠不住的。**上面的分布只是一种，还有很多的分布，其数据不在平均值附近，而是分散在四处。 例如，下面这个西班牙流感死亡年龄的分布 ![](../images/remote-510d54bd7d0d42f0f55fcfc8db4f1eaca1499215388fa815d9b8e0d8f3144aae.jpg) ![](../images/remote-510d54bd7d0d42f0f55fcfc8db4f1eaca1499215388fa815d9b8e0d8f3144aae.jpg) 数据并没有聚集在平均值43附近，如果取样，就会发现样本更大的概率是远离平均值，而不是在平均值附近。 所以样本方差出现偏小的原因，并不是因为平均值附近被采样到的概率更大，这只在部分情况下成立，在很多情况下并不成立。 **样本方差出现偏差的原因和采样无关**，也和平均值附近更容易被采样无关，因为在很多情况下，远离平均值的数据更容易被采样到，这无法解释样本方差为什么会比全体方差小。 更好的解释是，计算过程中引入样本平均值，降低了样本的自由度，减少了数据的差异性。 所以直觉也是靠不住的，事实上，有太多的偏差和偏见（Bias）是由直觉贡献的。 **结论** - 样本标准差的分母写成n-1，是为了对数据进行校正，这叫贝塞尔校正（Bessel's Correction）。 - 统计经常用各种方法来消除掉干扰数据的影响，例如比尔盖茨和去掉最高/低分的这两个例子。 - 样本数据之间也经常会出现各种隐含的关联关系，降低了数据之间的独立性或自由度（Degrees of freedom），这会让样本更聚集，让样本偏差变小。 - 样本方差![s^{2}](../images/1ba3ff5c668811c3ac8ea074a2f317bf619c92030e4b7518e102f1fc3d31cc16.svg)公式里的分母n-1，就是校正样本平均值![\\bar{x}](../images/d828991308dd69a73b0f670d89f3bf1876f785cf00fd01b4c96af47bfe8850fe.svg)所减少的自由度，样本数据本身没有偏差，是计算过程中引入的新信息（样本均值），让计算结果出现了偏差。 **推荐阅读** \[1\][https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s\_correction](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Bessel%2527s_correction) \[2\][https://heap.io/blog/data-stories/garbage-in-garbage-out-how-anomalies-can-wreck-your-data](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//heap.io/blog/data-stories/garbage-in-garbage-out-how-anomalies-can-wreck-your-data) \[3\][https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BB%BC%E4%BA%8B%E8%AD%89%E6%93%9A](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%25BB%25BC%25E4%25BA%258B%25E8%25AD%2589%25E6%2593%259A) \[4\][https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A5%E5%81%8F%E6%A6%82%E5%85%A8](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25BB%25A5%25E5%2581%258F%25E6%25A6%2582%25E5%2585%25A8) \[5\][https://zh.wikipedia.org/wiki/1948%E5%B9%B4%E7%BE%8E%E5%9B%BD%E6%80%BB%E7%BB%9F%E9%80%89%E4%B8%BE](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/1948%25E5%25B9%25B4%25E7%25BE%258E%25E5%259B%25BD%25E6%2580%25BB%25E7%25BB%259F%25E9%2580%2589%25E4%25B8%25BE) \[6\][http://www.todayonhistory.com/lishi/201705/62790.html](https://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.todayonhistory.com/lishi/201705/62790.html) \[7\][https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%B7%AE%E6%A8%A3%E6%9C%AC](https://link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%2581%258F%25E5%25B7%25AE%25E6%25A8%25A3%25E6%259C%25AC) \[8\][http://math.oxford.emory.edu/site/math117/besselCorrection/](https://link.zhihu.com/?target=http%3A//math.oxford.emory.edu/site/math117/besselCorrection/) [知乎原文](http://www.zhihu.com/api/v4/answers/658048814)